高中物理：以三角形为背景 构造几何关系的磁场问题

­　　类型一

­　　带电粒子从三角形磁场的某一边的中点垂直射入，运动到与另一边相切，然后再离开磁场。设带电粒子进入磁场的边的边长为L，此边与和运动轨迹相切的边的夹角为θ，则带电粒子运动的半径满足方程。

­　　现对此关系试作简单证明。如图1所示，令边长为L，是的中点，，。由几何关系可知，由于，故有。

­　　下面来看看这一结论的应用：

­　　【例1】（2012高考题改编）图中左边有一对平行金属板，两板相距为d，电压为U；两板之间有匀强磁场，磁场应强度大小为B0，方向平行于板面并垂直于纸面朝里。图中右边有一边长为a的正三角形区域EFG（EF边与金属板垂直），在此区域内及其边界上也有匀强磁场，磁感应强度大小为B，方向垂直于纸面朝里。假设有一电荷量为q的正离子沿平行于金属板面，垂直于磁场的方向射入金属板之间，沿同一方向射出金属板之间的区域，并经EF边中点H射入磁场区域。已知这些离子到达磁场边界EG后，从边界EF穿出磁场，不计重力。求离子的质量。

­　　

­　　解析：在粒子进入正交的电磁场做匀速直线运动，设粒子的速度为v，电场的场强为E0，根据平衡条件得

­　　①

­　　②

­　　由①②化简得

­　　③

­　　如图3由几何关系知

­　　④

­　　将④化简得

­　　⑤

­　　在磁场中粒子所需向心力由洛伦兹力提供，根据牛顿第二定律得

­　　⑥

­　　联立③⑥化简得

­　　。

­　　【例2】如图4所示，在一底边长为2L，θ＝45°的等腰三角形区域内（O为底边中点）有垂直纸面向外的匀强磁场。现有一质量为m、电量为q的带正电粒子从静止开始经过电势差为U的电场加速后，从O点垂直于AB进入磁场，不计重力与空气阻力的影响。当磁感应强度B为多少时，粒子能以最大的圆周半径偏转后打到OA板？

­　　解析：粒子经电场加速射入磁场时的速度为v

­　　qU＝mv2 ①

­　　要使圆周半径最大，则粒子的圆周轨迹应与AC边相切，设圆周半径为R。由图5中几何关系：

­　　R＋＝L ②

­　　在磁场中粒子由洛伦兹力提供向心力，则有

­　　qvB＝m③

­　　由①②③得联立得

­　　B＝。

­　　类型二

­　　带电粒子从三角形磁场中某一边的端点射入，然后从这一边的另一个端点离开磁场，设这条边的边长为L，入射方向与这一边的夹角为，则带电粒子运动的半径满足方程=Rsinθ。

­　　现对此关系试作简单证明。如图6所示，令边长为L，是的中点，，。由几何关系可知，=Rsinθ。

­　　下面来看看这一结论的应用：

­　　【例3】（2013高考题改编）如所示的平面直角坐标系xOy，在第Ⅰ象限内有平行于y轴的匀强电场，方向沿y轴正方向；在第Ⅳ象限的正三角形abc区域内有匀强磁场，方向垂直于xOy平面向里，正三角形边长为L，且ab边与y轴平行。一质量为m、电荷量为q的粒子，从y轴上的P（0，h）点，以大小为v0的速度沿x轴正方向射入电场，通过电场后从x轴上的a（2h，0）点进入第Ⅳ象限，又经过磁场从y轴上的某点进入第Ⅲ象限，且速度与y轴负方向成45°角，不计粒子所受的重力。求：abc区域内磁场的磁感应强度B的最小值。

­　　解析：带电粒子在电场中从P到a的过程中做类平抛运动。

­　　水平方向上：2h＝v0t①

­　　竖直方向上：h＝at2 ②

­　　由牛顿第二定律得a＝③

­　　粒子到达a点时沿y轴负方向的分速度为

­　　vy＝at④

­　　由①③④式得vy＝v0 ⑤

­　　而vx＝v0 ⑥

­　　粒子到达a点的速度

­　　va＝＝v0 ⑦

­　　粒子进入磁场后做匀速圆周运动，有qvB＝m⑧

­　　由此得R＝⑨

­　　从上式看出，R与B成反比，当R最大时，B最小。

­　　由图8可知，当粒子从b点射出磁场时，R最大。

­　　由几何关系得⑩

­　　将①②③④⑤⑥⑦⑧⑨⑩式得B的最小值为Bmin＝。